home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.3p < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  11KB  |  537 lines
  1. à 1.3    Lïear First Order Differential Equations
  2. äèèFïd ê general solution
  3. â        For ê lïear, first order differential equation
  4.             y' + y = x,è
  5.         ê ïtegratïg facër is 
  6.             σ(x) = e╣.è     
  7.         The ïtegral ç σx is xe╣ - x + C
  8.         The general solution is
  9.             y = eú╣[xe╣ - x + C] = x - xeú╣ + Ceú╣
  10. éS    èèA first order differential equation is said ë be
  11.     LINEAR if it can be written ï ê form
  12.  
  13.     1)    y» + p(x)y = q(x)
  14.  
  15.     See Section 1.1 for problems on lïearity ç differential
  16.     equations.
  17.  
  18.     èèThis differential equation can always (ï êory) be 
  19.     solved by use ç an INTEGRATING FACTOR.èBy defïition, an
  20.     ïtegratïg facër is a function that when it multiplies both
  21.     sides ç a differential equation, it turns one side ïë an
  22.     EXACT DERIVATIVE.
  23.  
  24.         Let σ(x) be such an ïtegratïg facër å multiply
  25.     equation 1) by it ë yield
  26.  
  27.         σ(x)y» + σ(x)p(x)y = σ(x)q(x)
  28.  
  29.     The σ(x) we are goïg ë use makes ê left hå side ç this
  30.     equation ê EXACT DERIVATIVEèç σ(x)yèi.e.
  31.  
  32.         [σ(x)y]» = σ(x)q(x)
  33.  
  34.     Integratïg both sides ç ê equation, usïg ê fact that
  35.     ê left hå side is an exact derivative yields
  36.              ░
  37.         σ(x)y =è▒èσ(x)q(x) dxè+èC
  38.              ▓
  39.  
  40.     Solvïg for y yields ê GENERAL SOLUTION ç ê lïear, first
  41.     order differential equation
  42.         èèè 1èíè░            è┐
  43.     2)    y =è──── ▒è▒ σ(x)q(x) dxè+èCè▒
  44.         èè σ(x) └è▓            è┘
  45.  
  46.     The INTEGRATING FACTOR for this differential equation is
  47.  
  48. èèèèèèèèèèèèèèèè 
  49. èèèè    èèèè     ùèp(x) dxèèèèèèèèèèèèèèèè 
  50. èèèè        σ(x) =èe
  51.  
  52.     In computïg ê ïtegration facër, do NOT ïclude a constant
  53.     ç ïtegration.èOnly one is necessary å it is ïcluded ï
  54.     general solution 2).
  55.  
  56.     èè Formula 2) works ï all cases which means that this 
  57.     type ç differential equation always has a êoretical 
  58.     solution.èThere is a ê practical limitation that êre
  59.     are two ïtegrals ïvolved.èIf eiêr or both cannot be
  60.     ïtegrated ë an elementary function, ên êre will be no
  61.     useful solution.
  62.  
  63.     èè The GENERAL SOLUTION will be valid for all x as long as
  64.     ê functions p(x) å q(x) are contïuous everywhere.èPoïts
  65.     ç disconïtuity will, ï general, cause ê solutions ë be
  66.     ïvalid.èIn particular, ê ïtervals ç validity ç this
  67.     solution will correspond ë ê ïterval ç contïuity ç 
  68.     ê functions p(x) å q(x).
  69.  1    y» - y = 3eì╣
  70.  
  71.  
  72.     A)    3 + Ce╣            B)    3e╣ + Ce╣
  73.  
  74.     C)    3eì╣ + Ce╣        D)    3eÄ╣ + Ce╣
  75. üèèèy» - y = 3eì╣
  76.  
  77. èèè    èèThis differential equation is already ï lïear form,
  78.     so ê ïtegratïg facër is
  79. èèèèèèèèèèèè 
  80.              ù (-1) dxèèèèèèèèèèèè 
  81.         σ(x) =èe        =èeú╣
  82.  
  83.     The second ïtegral becomes
  84.         ░
  85.         ▒èeú╣     3eì╣ dx
  86.         ▓
  87.         ░
  88.         ▒è3e╣ dx
  89.         ▓
  90.  
  91.     This ïtegrates directly ë
  92.  
  93.         3e╣ + C
  94.  
  95.     The general solution is
  96.  
  97.         èèè1
  98.         y =è───è[ 3e╣ + C ]
  99.         èè eú╣
  100.  
  101.         è=èe╣ [ 3e╣ + C ]
  102.  
  103.         y = 3eì╣ + Ce╣
  104. ÇèC
  105.  2    xy» + y = xÅ
  106.  
  107.  
  108.     A)    xÅ/4 + C/x        B)    xÅ/4 + C ln[x]
  109.  
  110.     C)    xÅ/5 + C/x        D)    xÅ/5 + C ln[x]
  111. üèèèxy» + y = xÅ
  112.  
  113. èèè    èèThis differential equation is NOT ï lïear form, so
  114.     divide through by ê coefficient ç y» which is x, leavïg
  115.     ê lïear differential equation
  116.         èè 1
  117.         y» + ─ yè=èxÄ
  118.         èè x
  119.     so ê ïtegratïg facër is
  120. èèèèèèèèèèèè 
  121.              ù 1/x dx    èèln[x]èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  122.         σ(x) =èe        =èeèèè =èx
  123.  
  124.     The second ïtegral becomes
  125.         ░
  126.         ▒èx xÄ dx
  127.         ▓
  128.         ░
  129.         ▒èxÅ dx
  130.         ▓
  131.     This ïtegrates directly ë
  132.  
  133.         xÉ/5 + C
  134.  
  135.     The general solution is
  136.         èèè1
  137.         y =è───è[ xÉ/5 + C ]
  138.         èèèx
  139.  
  140.         è=èxÅ/5 + C/x
  141. ÇèC
  142.  3    èèè 2èèèè╨Ä
  143.         y»è+è─ yè=èe
  144.         èèè x
  145.  
  146.  
  147.          ╨ÄèèèèèèèèèèèèèèxÄ
  148.     A)    eè /3x║è+èC/x║èèèB)èè eè /3xì + Cxì
  149. üèèèèèèè 2èèèxÄ
  150. èèèèèèèèy» + ─ y = e
  151. èèèèèèèèèè x
  152. èèè    èèThis differential equation is already ï lïear form,
  153.     so ê ïtegratïg facër is
  154. èèèèèèèèèèèè 
  155.              ù 2/x dxèèèèè 2 ln xèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  156.         σ(x) =èe        =èe
  157. èèè 
  158.          èèèè ln[xì]
  159.         èè =èeèèèèè
  160.  
  161.         èè =èxì
  162.  
  163.     The second ïtegral becomes
  164.         ░èèè╨Ä
  165.         ▒èxì eèèdx
  166.         ▓
  167.     This ïtegral requires substitution
  168.  
  169.         u = xÄè du = 3xì dxèèdx = du/3xì
  170.         
  171.         ░èèèè du
  172.         ▒èxì e╗ ───
  173.         ▓èèèè3xì
  174.         1è░
  175.         ─è▒èe╗ du
  176.         3è▓
  177.     This ïtegrates directly ë
  178.  
  179.         e╗ / 3 + C
  180.  
  181.     Substitutïg back ë ê origïal variable yields
  182.  
  183.          ╨Ä
  184.         eè / 3 + C
  185.  
  186.     The general solution is
  187.         èèè1è íè ╨Ä     ┐
  188.         y =è───è▒èeè/3è+èC ▒
  189.         èèèxìè└èè      ┘
  190.  
  191.         èèè╨Ä 
  192.         è=èeè / 3xìè+èC / xì         
  193. ÇèA
  194.  4    èèè 1
  195.         y»è+è─ yè= 3sï[x]
  196.         èèè x
  197.  
  198.     A)    3cos[x] + 3sï[x]/x + C/x
  199.     B)    3cos[x] - 3sï[x]/x + C/x
  200.     C)    -3cos[x] + 3sï[x]/x + C/x
  201. üèèèèèèè 1
  202. èèèèèèèèy» + ─ y = 3sï[x]
  203. èèèèèèèèèè x
  204. èèè    èèThis differential equation is already ï lïear form,
  205.     so ê ïtegratïg facër is
  206. èèèèèèèèèèèè 
  207.              ù dx / xèèèèè ln[x]èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  208.         σ(x) =èe        =èeèèè 
  209.  
  210.         èè =èx
  211.  
  212.     The second ïtegral becomes
  213.         ░ 
  214.         ▒è3x sï[x]èdx
  215.         ▓
  216.     This ïtegral requires ïtegration by parts 
  217.  
  218.         u = 3xèèdu = 3dxèè
  219.  
  220.         dv = sï[x] dxèèv = -cos[x]        
  221.     The ïtegral becomes
  222.  
  223.     èèèèèèèèèèè ░èèèè 
  224.         - 3x cos[x] +è▒è3cos[x] dx 
  225.         èèèèèèè ▓èèè 
  226.  
  227.     This ïtegrates directly ë
  228.  
  229.         - 3x cos[x] + 3sï[x] + C
  230.  
  231.     The general solution is
  232.         èèè1è íè            èèè ┐
  233.         y =è───è▒è- 3x cos[x] + 3sï[x] + C ▒
  234.         èèèxè └èè          èèè ┘
  235.         èèè
  236.         è=è- 3cos[x]è+ 3sï[x] / xè+èC / x 
  237. ÇèC
  238.  5    y» + tan[x] yè=èsec[x]
  239.  
  240.     A)    -sï[x] + C cos[x]
  241.     B)    sï[x] + C cos[x]
  242.     C)    cos[x] + C sï[x]
  243.     D)    -cos[x] + C sï[x]
  244. üèèèy» + tan[x] y = sec[x]
  245.  
  246.     èèThis differential equation is already ï lïear form,
  247.     so ê ïtegratïg facër is
  248. èèèèèèèèèèèè 
  249.              ù tan[x] dxèèèèèèèèèèèè 
  250.         σ(x) =èe    
  251. èèèèèèèèèèèè     
  252.              ù sï[x] dx / cos[x]èèèèèèèèèèèè 
  253.         èè =èeèèè 
  254.      This ïtegral requires substitution
  255.  
  256.         u = cos[x]è du = -sï[x] dxèè dx = - du / sï[x]
  257. èèèèèèèèèèèè 
  258.              ù - sï[x] du / {sï[x] u }èèèèèèèèèèèèè
  259.         σ(x) =èe
  260. èèèèèèèèèèèèèè
  261.             è- ù du / uèèèèèèèèèèèèèè
  262.         èè =èe
  263.  
  264.     This ïtegrates directly ë
  265.  
  266.             è- ln[u]
  267.         èè =    e
  268.     
  269. Substitutïg back ë ê origïal variable
  270.  
  271.             èln {cos[x]}úî
  272.         èè =     e
  273.             èln {sec[x]}
  274.         èè =èe
  275.  
  276.         èè =    sec[x]
  277.  
  278.     The second ïtegral becomes
  279.         ░ 
  280.         ▒èsec[x] sec[x]èdx
  281.         ▓
  282.     èèèè░èèèè 
  283.         ▒èsecì[x] dx 
  284.         ▓èèè 
  285.  
  286.     This ïtegrates directly ë
  287.  
  288.         tan[x] + C
  289.  
  290.     The general solution is
  291.         èèèè1èèíè    è ┐
  292.         y =è──────è▒ètan[x] + C ▒
  293.         èè sec[x]è└èè     è ┘
  294.         èèè
  295.         è=è tan[x]/sec[x]è+èC / sec[x] 
  296.  
  297.         è=è sï[x] + C cos[x]
  298. ÇèB
  299.  6    y» + 2xyè=è2x
  300.  
  301.         èèè╨ì        èèè
  302.     A)    2 + Ce
  303.  
  304.         èèè-╨ì        èèè
  305.     B)    1 + Ce
  306. üèèèy» + 2xy = 2x
  307.  
  308. èèè    èèThis differential equation is already ï lïear form,
  309.     so ê ïtegratïg facër is
  310. èèèèèèèèèèèè 
  311.              ù 2x dxèèèèèèèèèèèè 
  312.         σ(x) =èe        
  313.              ╨ì
  314.         èè =èeèèè 
  315.  
  316.     The second ïtegral becomes
  317.         ░èèè╨ì
  318.         ▒è2x eèèdx
  319.         ▓
  320.     This requires substitution with
  321.         u = xìè du = 2x dx
  322.     èèèè░èèèè 
  323.         ▒èe╗ du 
  324.         ▓èèè 
  325.     This ïtegrates directly ë
  326.  
  327.         e╗ + C
  328.     Substitutïg back ë ê origïal variable yields
  329.          ╨ì
  330.         eè + c
  331.     The general solution is
  332.         èèèèè╨ì íè ╨ì    ┐
  333.         y =è1 / eè ▒èeè + C ▒
  334.         èèèèèè └èè     ┘
  335.         èèè    èè -╨║
  336.         è=è1 +èC e 
  337. ÇèB
  338. äèèSolve ê ïitial value problem
  339. â        For ê lïear, first order differential equation
  340.             y' + y = xèèy(0) = 5
  341.         ê ïtegratïg facër isèσ(x) = e╣.è     
  342.         The general solution isèy = x - xeú╣ + Ceú╣
  343.         Substitutïg x = 0 ïë ê general solution yields
  344.             5 = C so ê ïitial value problem's solution
  345.         isèèy = x - xeú╣ + 5eú╣
  346. éS    èèA full discussion ç Initial Value Problems for FIRST
  347.     ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS is ï Section 1.2.è
  348.  
  349.     èèBriefly, solvïg an Initial Value Problem is a two-step
  350.     process.èFirst, fïd ê GENERAL SOLUTION ç ê differential
  351.     equation.è Second, substitute ï ê ïitial value ïfor-
  352.     mationèi.e.èx╠ for x å y╠ for y.èThis will produce an
  353.     equation for C which provides ê value ç ê arbitrary 
  354.     constant ë put back ï ê general solution.
  355.  7    xy» + y =èxe╣
  356.         y(1) = 5e
  357.  
  358.     A)    e╣ + e╣/x + 5e/x
  359.     B)    e╣ - e╣/x + 5e/x
  360.     C)    eú╣ + eú╣/x + 5e/x
  361.     D)    eú╣ - eú╣/x + 5e/x
  362. üèèèxy» + y = xe╣, y(1) = 5e
  363.  
  364. èè     èèThis differential equation is not ï lïear form, so divide
  365.     ê entire equation by ê coefficient ç y» i.e. by x ë yield
  366.         èè 1
  367.         y» + ─ yè=èe╣
  368.         èè x
  369.     The ïtegratïg facër is
  370. èèèèèèèèèèèè 
  371.              ùè1 / x dxèèèèèèèèèèèè 
  372.         σ(x) =èe        
  373.              ln[x]
  374.         èè =èeèèè 
  375.          èè 
  376.         èè =èx
  377.  
  378.     The second ïtegral becomes
  379.         ░èèè
  380.         ▒èx e╣èdx
  381.         ▓
  382.     This requires ïtegration by parts with
  383.         u = xèèèèdu = dx
  384.         dv = e╣dxèèv = e╣
  385.     èèèèèèèè░èèèè 
  386.         xe╣è-è▒èe╣ dx
  387.     èèèè    ▓èèè 
  388.     This ïtegrates directly ë
  389.  
  390.         xe╣ - e╣ + C
  391.     
  392.     The general solution is
  393.         èè 1èíèèèèèèèè┐
  394.         y =è─è▒èxe╣ - e╣è+ C ▒
  395.         èè xè└èè     èèèè ┘
  396.         èèè    èèè 
  397.         è=èe╣è-èe╣ / xè+èC / x 
  398.     
  399.     As ê ïitial condition is y(1) = 5e, substitute x = 1 å
  400. èèèèy = 5e.
  401.  
  402.         5e = eîè- eî/1 + C/1
  403.  
  404.     Solvïg yieldsè C = 5e
  405.  
  406.     Thus ê specific solution is
  407.  
  408.         y = e╣ - e╣/x + 5e/x
  409. ÇèB
  410.  8    y» - 2yè=è2eÅ╣
  411.         y(0) = 4
  412.  
  413.     A)    eÅ╣ + 3eì╣
  414.     B)    2eÅ╣ + 2eì╣
  415.     C)    -eÅ╣ + 3eì╣
  416.     D)    2eÅ╣ + 2
  417. üèèèy» - 2y = 2eÅ╣, y(0) = 4
  418.  
  419. èèè    èèThis differential equation is already ï lïear form, 
  420.     The ïtegratïg facër is
  421. èèèèèèèèèèèè 
  422.              ùè-2 dxèèèèèèèèèèèè 
  423.         σ(x) =èe        
  424.              
  425.         èè =èeúì╣èèè 
  426.  
  427.     The second ïtegral becomes
  428.         ░èèè
  429.         ▒è2eÅ╣ eúì╣èdx
  430.         ▓
  431.     èèèè░èèèè 
  432.         ▒ 2eì╣ dx
  433.     èèèè▓èè 
  434.     This ïtegrates via substitution usïg
  435.         u = 2xèè du = 2 dxèèdx = du/2
  436.         ░
  437.         ▒ 2 e╗èdu/2    
  438.         ▓
  439.  
  440.         ░
  441.         │èe╗ du
  442.         ▓
  443.     This ïtegrates directly ë
  444.  
  445.         e╗ + C
  446.  
  447.     Substitutïg back ë ê origïal variable yields 
  448.  
  449.         eì╣ + C
  450.  
  451.     The general solution 
  452.         èèè1
  453.         y = ────è[èeì╣ + C ▒
  454.         èèeúì╣èèèè    èèè 
  455.         è=èeÅ╣è+èCeì╣ 
  456.     
  457.     As ê ïitial condition is y(0) = 4, substitute x = 0 å
  458. èèèèy = 4.
  459.         4 = eòè+èCeò
  460.  
  461.     Solvïg yieldsè C = 3
  462.  
  463.     Thus ê specific solution is
  464.  
  465.         y = eÅ╣ + 3eì╣
  466. ÇèA
  467.  9    y» + cot[x]yè=èxì
  468.         y(π/2) = 3π
  469.  
  470.     A)    -xìcot[x] + 2x + 2cot[x] + 2πcsc[x]
  471.     B)    xìcot[x] - 2x + 2cot[x] + 2πcsc[x]
  472.     C)    xìcot[x] + 2x - 2cot[x] + 2πcsc[x]
  473.     D)    xìcot[x] + 2x + 2cot[x] - 2πcsc[x]
  474. üèèèy» + cot[x]y = xì, y(π/2) = 3π
  475.  
  476.     èèThis differential equation is already ï lïear form, 
  477.     The ïtegratïg facër is
  478. èèèèèèèèèèèè 
  479.              ùècot[x] dxèèèèèèèèèèèè 
  480.         σ(x) =èe        
  481.              
  482.              ù cos[x] dx / sï[x]èèèèèèèèèèèèè
  483.         èè =èe
  484.     This requires substitution with
  485.         u = sï[x]è du = cos[x dx
  486.     this yields
  487. èèèèèèèèèèèèè
  488.              ùèdu / uèèèèèèèèèèèè 
  489.         èè =èe
  490.     
  491.     This ïtegrates directly ë
  492.              ln{sï[x]}
  493.         èè =èeèè 
  494.  
  495.         èè =èsï[x]
  496.     The second ïtegral becomes
  497.         ░èèè
  498.         ▒èsï[x] xì dx
  499.         ▓
  500.     This requires ïtegration by parts
  501.         u = xì    èèdu = 2x dx
  502.         dv = sï[x]èv = -cos[x]
  503.     èèèèèèèèèèèèè░èèèè 
  504.         =è- xì cos[x]è+ ▒ 2x cos[x] dx
  505.     èèèèèèèèèèèèè▓èè 
  506.     This ïtegral also requires ïtegration by parts
  507.         u = 2xèèèdu = 2 dx
  508.         dv = cos[x]èv = sï[x]
  509.                     èèè ░
  510.         =è- xì cos[x]è+ 2x sï[x] -è▒ 2 sï[x] dx
  511.                     èèè ▓
  512.     This ïtegrates directly ë
  513.         
  514.         =è- xì cos[x]è+è2x sï[x]è+è2 cos[x]è+èC
  515.     
  516.     The general solution is
  517.  
  518.         èèè 1
  519.         y = ──────è[ -xìcos[x] + 2xsï[x] + 2cos[x] + C ]
  520.         èèsï[x]
  521. èèèè    èèè 
  522.         è=è-xì cot[x] + 2x + 2cot[x] + Ccsc[x] 
  523.     
  524.     As ê ïitial condition is y(π/2) = 3π, substitute x = π/2
  525. èèèèå y = 3π.
  526.         3π = -πì/4 cot[π/2] + 2(π/2) + 2 cot[π/2] + Ccsc[π/2]
  527.         
  528.         3π = π + C
  529.  
  530.     Solvïg yieldsè C = 2π
  531.  
  532.     Thus ê specific solution is
  533.  
  534.         y = -xì cot[x] + 2x + 2cot[x] + 2π csc[x]
  535. ÇèA
  536.  
  537.